16.4.2.7 Matrix Algebra Functions

Matrix Function: CHOL ( M)

矩阵 M 必须是 n ×n 对称正定矩阵。返回一个 n ×n 矩阵 B，使得 B ^T×B=M。

CHOL({4, 12, -16; 12, 37, -43; -16, -43, 98}) ⇒
  2  6 -8
  0  1  5
  0  0  3

Matrix Function: DESIGN ( M)

返回 M 的设计矩阵（design matrix）。设计矩阵的行数与 M 相同。M 中从左到右的每一列 c，在输出中产生一组列。对于 c 中从上到下的每个唯一值 v，向输出添加一列，其中 v 变为 1，其他值变为 0。

如果某一列仅包含单个唯一值，PSPP 会发出警告。

DESIGN({1; 2; 3}) ⇒ {1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1}
DESIGN({5; 8; 5}) ⇒ {1, 0; 0, 1; 1, 0}
DESIGN({1, 5; 2, 8; 3, 5})
 ⇒ {1, 0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0, 1; 0, 0, 1, 1, 0}
DESIGN({5; 5; 5}) ⇒ (warning)

Matrix Function: DET ( M)

返回方阵 M 的行列式。

DET({3, 7; 1, -4}) ⇒ -19

Matrix Function: EVAL ( M)

返回一个包含对称矩阵 M 的特征值的列向量，按升序排序。

使用 CALL EIGEN（参见 CALL EIGEN）计算矩阵的特征值和特征向量。

EVAL({2, 0, 0; 0, 3, 4; 0, 4, 9}) ⇒ {11; 2; 1}

Matrix Function: GINV ( M)

返回 k ×n 矩阵 A，它是 n ×k 矩阵 M 的_广义逆_（generalized inverse），定义为满足 M ×A×M=M 且 A ×M×A=A。

GINV({1, 2}) ⇒ {.2; .4}（约等于） {1:9} * GINV(1:9) * {1:9} ⇒ {1:9}（约等于）

Matrix Function: GSCH ( M)

M 必须是 n ×m 矩阵，m ≥ n，秩为 n。使用 Gram-Schmidt 过程返回 M 的 n ×n 标准正交基。

GSCH({3, 2; 1, 2}) * SQRT(10) ⇒ {3, -1; 1, 3}（约等于）

Matrix Function: INV ( M)

返回 n ×n 矩阵 A，它是 n ×n 矩阵 M 的逆，定义为满足 M ×A = A×M = I，其中 I 是单位矩阵。M 必须非奇异，即 \det( M) ≠ 0。

INV({4, 7; 2, 6}) ⇒ {.6, -.7; -.2, .4}（约等于）

Matrix Function: KRONEKER ( Ma, Mb)

返回 pm ×qn 矩阵 P，它是 m ×n 矩阵 Ma 和 p ×q 矩阵 Mb 的_克羅內克積_（Kroneker product）。可将 P 视为多个 p ×q 块的拼接，每个块是 Mb 与 Ma 不同元素的标量积。例如，当 A 是 2×2 矩阵时，KRONEKER(A, B) 等价于 {A(1,1)*B, A(1,2)*B; A(2,1)*B, A(2,2)*B}。

KRONEKER({1, 2; 3, 4}, {0, 5; 6, 7}) ⇒
   0   5   0  10
   6   7  12  14
   0  15   0  20
  18  21  24  28

Matrix Function: RANK ( M)

返回矩阵 M 的秩，一个整数标量，其值为其列（等价地，其行）所张成的向量空间的维数。

RANK({1, 0, 1; -2, -3, 1; 3, 3, 0}) ⇒ 2
RANK({1, 1, 0, 2; -1, -1, 0, -2}) ⇒ 1
RANK({1, -1; 1, -1; 0, 0; 2, -2}) ⇒ 1
RANK({1, 2, 1; -2, -3, 1; 3, 5, 0}) ⇒ 2
RANK({1, 0, 2; 2, 1, 0; 3, 2, 1}) ⇒ 3

Matrix Function: SOLVE ( Ma, Mb)

Ma 必须是 n ×n 矩阵，且 \det( Ma) ≠ 0，Mb 为 n ×k 矩阵。返回一个 n ×k 矩阵 X，使得 Ma × X = Mb。

以下所有示例均显示近似结果：

SOLVE({2, 3; 4, 9}, {6, 2; 15, 5}) ⇒
   1.50    .50
   1.00    .33
SOLVE({1, 3, -2; 3, 5, 6; 2, 4, 3}, {5; 7; 8}) ⇒
 -15.00
   8.00
   2.00
SOLVE({2, 1, -1; -3, -1, 2; -2, 1, 2}, {8; -11; -3}) ⇒
   2.00
   3.00
  -1.00

Matrix Function: SVAL ( M)

给定 n ×k 矩阵 M，返回一个 \min( n,k) 元素的列向量，包含 M 的奇异值，按降序排列。

使用 CALL SVD（参见 CALL SVD）计算矩阵的完整奇异值分解。

SVAL({1, 1; 0, 0}) ⇒ {1.41; .00}
SVAL({1, 0, 1; 0, 1, 1; 0, 0, 0}) ⇒ {1.73; 1.00; .00}
SVAL({2, 4; 1, 3; 0, 0; 0, 0}) ⇒ {5.46; .37}

Matrix Function: SWEEP ( M, nk)

给定 r ×c 矩阵 M 和整数标量 k = nk，满足 1 ≤ k ≤ \min( r,c)，返回 r ×c 扫描矩阵 A。

若 _M {kk} ≠ 0，则：

_A _{kk} = 1/M_{kk}_,
_A _{ik} = -M_{ik}/M_{kk} for i ≠ k_,
_A _{kj} = M_{kj}/M_{kk} for j ≠ k, and_
_A _{ij} = M_{ij} - M_{ik}M_{kj}/M_{kk} for i ≠ k and j ≠ k_.

若 _M {kk} = 0，则：

_A _{ik} = A_{ki} = 0 and_
_A _{ij} = M_{ij}, for i ≠ k and j ≠ k_.

给定 M = {0, 1, 2; 3, 4, 5; 6, 7, 8}，则（约等于）：

SWEEP(M, 1) ⇒
   .00   .00   .00
   .00  4.00  5.00
   .00  7.00  8.00
SWEEP(M, 2) ⇒
  -.75  -.25   .75
   .75   .25  1.25
   .75 -1.75  -.75
SWEEP(M, 3) ⇒
 -1.50  -.75  -.25
  -.75  -.38  -.63
   .75   .88   .13