第五章 假设检验基础

5.1 统计推断与假设检验的基本思想

手里攥着一份样本，心里却惦记着总体——这是数据分析里最寻常的张力。我们不可能、也不必要把每一个个体都测量一遍，于是只能从样本出发，去推断总体的模样。假设检验，就是这套"由局部看全局"的推理工具中最核心的一件。

它始终在比较两种说法。一种是保守的、现状式的断言，称为零假设（null hypothesis，记作 H0）；另一种是研究者真正想支持的、带有变化意味的断言，称为备择假设（alternative hypothesis，记作 H1）。举个例子：药厂声称某种胶囊的平均装量为 500 毫克，质检员怀疑实际偏少。这时 H0 就是"平均装量等于 500 毫克"，H1 则是"平均装量不等于（或小于）500 毫克"。检验不预先相信哪一边，它只是问：如果 H0 真的成立，我们眼前这份样本出现的概率，大到让人安心，还是小到令人起疑？

背后的逻辑叫小概率原理：一件概率极小的事件，在一次试验中几乎不该发生。倘若在"H0 成立"的前提下，当前样本的出现概率小到了预先划定的门槛以下，我们就有理由怀疑 H0 本身站不住脚，从而转而支持 H1。注意，这不是"证明了"H1，而是"H0 难以解释眼前的数据，所以暂且放下它"。

被反复提及的 p 值，就是上面的"概率"本身。更准确地说，p 值是在 H0 成立的前提下，观察到当前样本、或更极端样本的概率。把它想成一份"意外程度报告"最贴切：p 值很小，意味着"若 H0 为真，眼前这般甚至更离谱的结果本不该轻易撞见"；p 值很大，则意味着"这个结果在 H0 的世界里稀松平常，没什么好大惊小怪"。p 值小到什么程度才算"离谱"？这个门槛由研究者事先定下，正是下一节要谈的显著性水平。

检验本身还分"双侧"与"单侧"两种姿态。若 H1 只笼统地说"两者不相等"，我们得两侧都提防，这叫双侧检验；若 H1 带着明确方向，例如"装量低于标准"或"新法得分更高"，只需盯着那一侧，这叫单侧检验。单侧把全部 α 押在一边，自然更容易在那一端达到显著，但方向必须在事前就有充分依据，不能等数据出来、看见哪边差异大再临时改口——那样等于悄悄挪动了门槛。

这里有个容易绊倒初学者的地方：p 值衡量的是"证据 against H0 的强弱"，而不是"H1 为真的概率"，更不是"差异有多大"。一个 tiny 的 p 值只说明"不太可能纯属巧合"，至于差异在现实里是否有意义，还得看效应量与专业判断。把这点想通，后面五花八门的 t 检验与非参数检验，其实都是同一套思想的不同化身。

5.2 显著性水平与第一、二类错误

判定"p 值小到离谱"的那条红线，叫做显著性水平，习惯用 α 表示，最常用的值是 0.05。它的含义朴素直白：我们允许自己在 H0 明明为真时，却错误地把它拒之门外的风险不超过 5%。一旦 p ≤ α，就称结果"在 α 水平下显著"，于是拒绝 H0；反之 p > α 则"未能拒绝 H0"——请留意，是"未能拒绝"而非"接受了 H0"，就像法庭上"证据不足"不等于"被告清白"。

任何判断都有走眼的可能，假设检验也不例外，且走眼分两种：

• 第一类错误（Type I）：H0 本为真，我们却拒绝了它。它发生的概率，恰恰就是 α。把 α 定得越低，犯这类错的可能就越小，但代价是更难发现问题。
• 第二类错误（Type II）：H0 本为假，我们却没拒绝它。它发生的概率记作 β。与 α 相反，α 压得越低，β 往往越高——太谨慎地不肯冤枉 H0，就容易放过真正存在的差异。

检验功效（power）等于 1 − β，即"当 H0 确实为假时，我们成功把它揪出来的概率"。理想状态下，我们希望 α 小而功效大；现实中二者需要权衡，而增大样本量、减少测量误差、或选用更贴合数据结构的检验，都是抬高功效的正道。

样本量在这场权衡里举足轻重。效应量既定的情况下，样本越大，标准误越小，检验功效越高，越容易把真实存在的差异辨认出来；样本太小则常导致功效不足，即便差异客观存在，也可能因 p 值卡在门槛之外而被误读为"没有差异"。这也提醒我们：同样的 p 值，出现在大样本里未必令人振奋，出现在小样本里却要谨慎——后者常常只是"证据还不够多"，而非"真的无差异"。

把两类错误放进现实，意义立刻浮现。医学筛查里，宁可多喊几次"假警报"（第一类错误）也不愿漏掉真病人；司法定罪则极力压低"冤枉好人"的概率，宁可放过某些疑犯。这些取向，本质上都是在 α 与 β 之间做取舍。

还要提醒一句：显著性 ≠ 重要性。p 值很小，往往只是因为样本足够大，连微乎其微的差异也能被检出；此时真正该看的是效应量（effect size），它独立于样本规模，回答"差异到底有多大"。后文每一类 t 检验，我们都顺带给出效应量的线索，正是为了避免"显著却无足轻重"的误读。

5.3 单样本 t 检验

当我们手握一组观测值，又知道某个参考总体的均值，想判断"这份样本是不是来自那个总体"时，单样本 t 检验正合适。它的命令形态由一个 TESTVAL= 子命令触发，写法固定而简洁：

T-TEST TESTVAL=值 /VARIABLES=变量.

TESTVAL= 后面填的是那个已知的参考均值（待检验的 H0 值），/VARIABLES= 指定要检验的变量。通用子命令如 /CRITERIA=CI(0.95) 可调整置信区间的覆盖水平，/MISSING 控制缺失值的处理方式。图形界面的入口在 Analyze → Compare Means → One-Sample T Test（界面推断，手册未逐项文档化）。

下面构造一份数据：某次考试中，往届学生的总体平均分稳定在 75 分，这届抽了 10 名学生，想看看他们的水平是否偏离了这条基准线。H0 为"均值等于 75"，H1 为"均值不等于 75"。

DATA LIST LIST /score.
BEGIN DATA.
78
82
71
76
80
73
85
79
74
77
END DATA.

T-TEST TESTVAL=75 /VARIABLES=score.

PSPP 会输出一张单样本检验表，关键栏目包括样本均值、与检验值的差、t 值、自由度 df、双尾 p 值，以及均值差的 95% 置信区间。把上面这份数据的输出按栏目铺开，大致长这样：

变量	样本均值	与检验值之差	t	df	双尾 p	95% CI 下限	95% CI 上限
score	77.5	2.5	1.860	9	0.096	74.46	80.54

就上面的数据而言，样本均值为 77.5，与 75 相差 2.5；t 值约为 1.860，自由度 df = 9，双尾 p 值约为 0.096，95% 置信区间约为 [74.46, 80.54]。

解读时先看置信区间：它整体落在 75 的上方一侧，却又跨过了 75 这个点本身。对应的 p 值 0.096 略高于常用的 α = 0.05 门槛，因此在 5% 水平上我们未能拒绝 H0——也就是说，仅凭这 10 个分数，尚不足以断言本届学生已整体偏离往届基准。这个"差一点就显著"的案例，正是提醒读者：p 值只是连续的概率，贴着门槛的解读要格外审慎，别把 0.049 与 0.051 想成天壤之别。

另需说明，PSPP 在单样本检验中报告的 p 值默认为双尾；若研究在事前已明确只关心某一方向（如"是否高于 75"），可将双尾 p 值除以 2 作为单尾参考值，但方向必须事前确定，不能看了数据再选。

5.4 独立样本 t 检验

若想比较两个互不相干的组在某个连续变量上的均值，例如男女生身高、两种工艺的良率评分，就该请出独立样本 t 检验。它由 GROUPS= 子命令触发：

T-TEST /VARIABLES=变量 /GROUPS=分组变量(值1,值2).

/GROUPS= 后的括号里填分组变量的两个取值，PSPP 据此把个案切成两组再做比较。图形界面入口在 Analyze → Compare Means → Independent-Samples T Test（界面推断，手册未逐项文档化）。

这份检验最贴心的设计，是输出中自动附带 Levene 方差齐性检验。t 检验默认要求两组方差相当；Levene 检验正是先替你确认这一点。它给出两行 t 检验结果：第一行"假定方差齐性"，第二行"不假定方差齐性"。判读口诀很清楚——先看 Levene 的 p 值：若 p > α，认为两组方差无显著差异，采用第一行；若 p ≤ α，方差不齐，改看第二行。

构造一组对照实验数据：实验组（group=1）与对照组（group=2）各 5 例，观测某项得分。

DATA LIST LIST /score group.
BEGIN DATA.
70 1
72 1
74 1
75 1
73 1
68 2
66 2
70 2
67 2
65 2
END DATA.

T-TEST /VARIABLES=score /GROUPS=group(1,2).

本例 Levene 检验的 p 值约为 0.85，远大于 0.05，说明两组方差齐性成立，于是读取第一行：t 值约为 4.60，df = 8，双尾 p 值约为 0.002，两组均值差为 5.6，其 95% 置信区间约为 [2.80, 8.40]。p 远小于 0.05，拒绝 H0，认为两组得分存在显著差异，且效应量 Cohen's d 约为 2.9，属大效应。易错点在于：务必让 GROUPS() 括号里的取值与数据集中分组变量的真实取值对上，否则 PSPP 会把不属于这两组的个案忽略或报错。

5.5 配对样本 t 检验

还有一种常见情形：同一批对象在接受处理前后各测一次，或一对对匹配好的个体各测一次。这时两组数据天然成对，前后两次的个体差异才是关注焦点，应当使用配对样本 t 检验，由 PAIRS= 子命令触发：

T-TEST /PAIRS=变量1 WITH 变量2 (PAIRED).

这里有个务必上心的细节：WITH 连接的两个变量若不写 (PAIRED)，PSPP 会生成所有可能的变量配对组合；只有加上 (PAIRED)，才真正把"变量1 的第 i 个个案"与"变量2 的第 i 个个案"一一锁死，做严格的配对比较。图形界面入口在 Analyze → Compare Means → Paired-Samples T Test（界面推断，手册未逐项文档化）。

下面用一份前后测数据演示：8 名受试者训练前的指标 pre 与训练后的指标 post。

DATA LIST LIST /pre post.
BEGIN DATA.
60 64
62 63
59 61
61 65
58 60
63 66
57 59
60 62
END DATA.

T-TEST /PAIRS=pre WITH post (PAIRED).

配对检验的实质，是把每一对的前后差（post − pre）当作一个新的样本，再做单样本 t 检验，检验这些差值的均值是否为 0。本例 8 个差值的平均约为 2.5，t 值约为 6.614，df = 7，双尾 p 值小于 0.001，差值均值的 95% 置信区间约为 [1.61, 3.39]，全程落在 0 的上方。结论明确：训练后指标显著高于训练前，效应量相当可观。若当初漏写 (PAIRED)，系统可能把 pre 与 post 当成两组独立变量胡乱配对，结果便失去"同一人前后对比"的意义。

5.6 非参数检验入门

t 检验虽好，却背着几项前提：数据近似正态、至少是连续定距变量、且最好两组方差齐。一旦样本量很小、分布明显偏斜、存在极端值，或者手里只是"满意/一般/不满意"这类有序分类数据，硬上 t 检验就不牢靠了。这时该转向非参数检验——它们不依赖总体的分布形状，因而更稳健，代价通常是统计功效略低。在 PSPP 里，这类方法统一收在 NPAR TESTS 命令之下。

NPAR TESTS 通过不同的子命令区分具体检验，下面逐一给出语法与适用场景。

拟合优度：/CHISQUARE。用来判断一个分类变量的频数与你预期的频数是否吻合，例如掷骰子是否公平、选民意向是否均匀。可指定取值范围与期望比例：

NPAR TESTS /CHISQUARE=vote(1,3) /EXPECTED=0.3,0.4,0.3.

/EXPECTED=EQUAL 表示期望各分类均等；也可像上面这样给出不等的期望权重。

符号检验：/SIGN。适用于配对资料，尤其当差值分布明显不对称、或数据为有序等级时。它只数"正差"与"负差"的个数，连差值大小都不依赖，因此极为稳健：

NPAR TESTS /SIGN=before WITH after (PAIRED).

Wilcoxon 配对秩检验：/WILCOXON。同样是配对资料，但它利用了差值的大小与符号、转化为秩后检验，比符号检验更敏感；代价是假定差值围绕中位数大致对称：

NPAR TESTS /WILCOXON=before WITH after (PAIRED).

Mann–Whitney 两独立组秩和检验：/MANN-WHITNEY。它是独立样本 t 检验的非参数替身，比较两组个案的秩和，对正态性没有要求。可缩写为 M-W：

NPAR TESTS /MANN-WHITNEY=score BY group(1,2).

括号里是分组变量及其两个取值；凡取值既非 g1 也非 g2 的个案会被自动忽略，这一点要留心。

沿用一组小数据感受它的用法：

DATA LIST LIST /score group.
BEGIN DATA.
55 1
60 1
58 1
62 1
59 2
64 2
61 2
66 2
END DATA.

NPAR TESTS /MANN-WHITNEY=score BY group(1,2).

输出会给出两组的秩和、U 统计量及对应的 p 值；若 p ≤ α，便可认为两组分布位置不同。它不告诉你差了多少，只告诉你"位置是否挪动了"——这正是非参数方法克制而诚实的一面。

正态性检验：/KOLMOGOROV-SMIRNOV。用来考察某个变量是否服从指定的理论分布，最常拿来检查"数据够不够正态"，从而决定前面能不能放心用 t 检验。可缩写为 K-S，括号内声明分布类型与参数：

NPAR TESTS /KOLMOGOROV-SMIRNOV (NORMAL 75 10)=score.

上面以均值 75、标准差 10 的正态分布为参照；括号里还能换作 UNIFORM、POISSON、EXPONENTIAL 等分布。若对 score 与 age 同时检验正态性，可写 /KOLMOGOROV-SMIRNOV (NORMAL 3.5 2.0)=score age.，其中每个变量套用各自的 mu、sigma。

除以上五项外，PSPP 手册还实现了 BINOMIAL、COCHRAN、FRIEDMAN、KENDALL、KRUSKAL-WALLIS、MCNEMAR、MEDIAN、RUNS 等非参数过程，覆盖二项比例、多相关样本、秩相关、多组独立比较、配对四格表、中位数与随机性等诸多场景，需要时可在 NPAR TESTS 下继续探索。图形界面的非参数入口多在 Analyze → Nonparametric Tests → …（界面推断，手册未逐项文档化）。

挑选哪一类检验，归根到底要先问三个问题：数据是独立的还是配对的？是连续定距还是有序分类？分布够不够正态、样本够不够大？把这几条理顺，t 检验与非参数检验的分工便一目了然——前者锋利却挑数据，后者温和而兜底。